Traduit de l’article de Luca C.
En physique quantique,
tout est une question de nombres […],
ces choses ne se comportent pas comme des particules,
elles ne sont pas comme des paquets de matière ou d’énergie…
elles se comportent comme des Nombres.
John Von Neumann
Cet article est le second d’une série de deux articles consacrés à l’Harmonique. Le premier, « Harmoniques et science 1 », paru en janvier, présentait les nouveaux concepts que la science [1] attribue aux phénomènes vibratoires en tant qu’archétypes et fondements de la manifestation de l’Univers perçu. Dans cet article, nous irons plus loin, jusqu’à l’essence même du Nombre, en montrant comment les concepts d’Espace et d’Harmonique sont unis par la même essence (à un niveau d’abstraction plus élevé) qui donne vie à l’entité Nombre. Alors que lorsqu’il s’agit de concepts physiques, nous pouvons presque toujours nous raccrocher à notre intuition du monde qui nous entoure pour nous faire une idée de ce dont nous parlons, nous ne pouvons plus le faire ici. Nous allons entrer dans un monde de pure abstraction et de beauté, d’élégance et d’ordre hiérarchique absolu. Nous passerons là où Platon situe le « monde des idées », celles qui n’ont pas de forme, mais d’où naît la forme. Comme les sujets traités sont difficiles, nous avons essayé de rendre l’exposé aussi convivial que possible, mais nous parlons tout de même de mathématiques d’avant-garde et de recherche pure ; par conséquent, dans cet article, la barre de la complexité est un peu élevée, mais lorsque l’on traite de sujets tels que l’harmonique dans un contexte d’exactitude scientifique, cela ne peut qu’être le cas.
Il sera montré comment, à partir de théorèmes et de conjectures mathématiques complexes, on peut arriver à des formulations cohérentes en considérant l’aspect relationnel de l’entité Nombre, puis en passant par des ponts d’abstraction supplémentaire pour unifier le concept de l’harmonique et de la théorie des nombres. Laissons-nous donc envelopper par la beauté et commençons, car nous avons un long chemin à parcourir.
Le mois de septembre est froid dans le Königsberg prussien, surtout ce soir de 1930. C’est le 6 du mois et un samedi. Le sixième congrès des physiciens et mathématiciens allemands est dans sa phase finale. Tous les discours les plus importants ont déjà été prononcés et une séance parallèle, la dernière prévue pour ce congrès, se déroule dans une petite salle anonyme du Grand Théâtre de Königsberg. La plupart des personnes présentes sont parties, compte tenu de l’heure tardive de la soirée et du froid extrême qui règne à l’extérieur, et les quelques personnes restantes pensent déjà au prochain dîner ou à la manière de trouver un moyen de transport confortable pour rentrer chez elles. Dans ce contexte, un jeune logico-mathématicien inconnu, qui vient de rendre sa thèse de doctorat, monte sur scène et, d’une voix à peine audible et en bégayant, commence à prendre la parole.
Dès lors, tout a changé !
Tout le château des certitudes mathématiques rassurantes s’écroule sur ses fondations. Le jeune logicien inconnu et bavard s’appelait Kurt Gödel et ce qu’il présenta ce soir-là fut la démonstration des deux théorèmes qui portent le nom de « Théorèmes d’incomplétude syntaxique ». Un nom intimidant, mais pour le comprendre, il suffit de dire que depuis ce soir de septembre à Königsberg, les termes « vrai » et « démontrable » en mathématiques ne sont plus synonymes. Les implications techniques et philosophiques ont été énormes (mais pas immédiates). Elles ont mis à bas le programme formaliste de Hilbert et ont fait s’écrouler à sa base l’énorme travail axiomatique utopique de Whitehead et Russell qu’est le Principia Mathematica.
Et oui ! … comment Gödel affirme-t-il avec ses théorèmes qu’en mathématiques, un énoncé (une expression arithmétique) qui est définitivement vrai ne peut pas être prouvé par les seuls moyens de l’arithmétique ? Cette bombe qui a éclaté ce soir de septembre est passée inaperçue pour les dernières personnes présentes dans la salle, à l’exception de l’une d’entre elles. Un génie, un mathématicien à qui la démonstration de Gödel a fait battre la chamade. Ce mathématicien, c’est John Von Neumann. À l’époque, on racontait dans les académies l’anecdote suivante : « les bons mathématiciens prouvent ce qu’ils peuvent, Von Neumann prouve ce qu’il veut ». Ce soir de 1930, la démonstration des deux théorèmes d’incomplétude syntaxique a littéralement laissé Von Neumann sans voix et l’on dit que dans les semaines qui ont suivi, il est resté enfermé dans son bureau, sans prononcer un mot et en touchant à peine à la nourriture. Donner ici une explication technique du fonctionnement de la démonstration mise en place par Gödel est trop compliqué. Il suffit de savoir que Gödel a transformé les relations entre les constructions logiques en relations entre les constructions numériques afin de manipuler des nombres au lieu de symboles. Il a fait correspondre chaque symbole syntaxique à un nombre premier. Les formules logiques (qui sont syntaxiquement des séquences de symboles) sont devenues des séquences de nombres premiers, et les démonstrations logiques, qui sont syntaxiquement des séquences de séquences de symboles, sont devenues des séquences de séquences de nombres premiers.
Cette méthode inventée par Gödel est appelée « arithmétisation » ou « gödelisation ». Au lieu de prouver des théorèmes (séquences de séquences syntaxiques de symboles), on travaille (avec l’arithmétique) avec des relations entre des séquences de séquences de nombres premiers. Ici, le nombre est considéré comme l’« entité » de base, un élément relationnel qui, d’un point de vue syntaxique, peut être utilisé pour déduire des relations cachées à première vue. Gödel a prouvé que la vérité est un concept sémantique, alors que la démontrabilité est un concept purement syntaxique, et que ces deux concepts ne sont pas nécessairement toujours liés. Comme mentionné précédemment, il a construit arithmétiquement (par la méthode de Gödelisation) une séquence de nombres qui est « vraie », mais qui ne peut pas être prouvée par des méthodes arithmétiques.
Faisons un bond en avant de quelques années. Nous sommes à Princeton et l’ambiance est euphorique, comme à la fin de chaque semestre. Il y a une fête, et ce soir-là aussi, le professeur coréen Kim Minh-Yong se prépare à sortir. Depuis quelques jours, il ne prêtait même plus attention à son colocataire qui travaillait fébrilement sur des concepts très avancés de mathématiques abstraites. Des idées qu’il développait en s’inspirant des travaux de celui qu’il considérait comme son maître : Alexandre Grothendieck. Minh-Yong dit au revoir à son colocataire, qui ne lui rendit évidemment pas son salut, et sortit. Lorsqu’il est revenu tard dans la nuit, il a trouvé Shinichi Mochizuki, son colocataire, allongé sur le sol, convulsant et délirant. Il prononçait des phrases décousues, parlant de l’essence ultime, du cœur le plus profond des mathématiques, une ombre qui devait rester voilée « pour le bien de nous tous ».
Avec difficulté, Minh-Yong réussit à mettre son ami au lit et à le calmer jusqu’à ce qu’il s’endorme. Le lendemain matin, Shinichi ne se souvenait absolument pas de ce qui s’était passé la veille. Quelques années plus tard, le 31 août 2012 exactement, Shinichi Mochizuki a publié sur son site Internet quatre articles totalisant environ 500 pages. Ces articles contenaient, entre autres, la démonstration de l’une des conjectures les plus importantes de la théorie des nombres. Pendant des années, Mochizuki a travaillé dans un isolement presque total à l’élaboration d’une théorie mathématique totalement nouvelle qui ne ressemblait à rien de connu. Immédiatement, d’autres mathématiciens, les plus proches de lui, puisque Mochizuki n’avait pas rendu son travail public, ont commencé à étudier sa démonstration.
Après des jours et des jours d’étude, ils n’ont écrit qu’une seule phrase : « Impossible à comprendre ». L’année suivante, en décembre 2013, une commission d’experts mondiaux s’est réunie à Oxford pour tenter de décrypter le travail de Mochizuki qui, entre-temps, s’était encore plus refermé sur lui-même et refusait de donner la moindre explication à ses articles. Au cours des premiers jours de travail du comité, il semblait que les choses commençaient à se mettre en place, que les concepts prenaient peu à peu leur place et que le travail du Japonais commençait à avoir un sens et à être compris. Et puis, soudain, tout s’est effondré. À partir d’un certain moment, plus personne ne peut suivre le fil de la pensée de Mochizuki. Les meilleurs mathématiciens de la planète se sont mis en échec. Les plus grands mathématiciens du monde se sont soudain retrouvés dans l’incapacité de parler.
Le cœur de la démonstration repose sur une série de relations qui sous-tendent et constituent le squelette essentiel et ultime de cette entité que nous appelons communément Nombre. Ces relations, encore une fois invisibles au premier coup d’œil, nous transportent dans un monde abstrait si lointain et d’une beauté si pure « que l’on a l’impression d’être en présence du divin ». La théorie de Mochizuki porte un nom qui frappe d’effroi : La Théorie Inter-Universelle de Teichmüller (IUT pour les intimes). Là encore, comme pour Gödel, nous ne pouvons pas entrer dans le détail de cette théorie très complexe, mais ce qui est important dans la démonstration de Mochizuki, c’est la procédure, et le fait que l’essence centrale de la structure démonstrative renvoie (comme chez Gödel) à la nature la plus intime de l’entité Nombre.
Imaginons maintenant que nous nous trouvons dans l’espace, l’espace ordinaire auquel nous sommes habitués tous les jours. Dans cet espace, que nous pouvons considérer comme mathématiquement plat et euclidien sans perdre trop de généralité, le concept « je suis immobile » n’existe pas. Car même si nous étions parfaitement immobiles, nous serions toujours en mouvement par rapport à la coordonnée temporelle. Une seconde à la fois, vers ce que, dans notre perception linéaire limitée, nous appelons le futur. Un tel espace, plat et euclidien, qui se rapproche de la structure géométrique réelle de l’univers, est décrit par le « Lambdoma » numérique :
(vous avez peut-être deviné que la taille du Lambdoma est de 4×4 parce que nous vivons dans un espace manifeste à quatre dimensions). Dans l’espace réel, celui qui n’est pas approximé par la géométrie euclidienne, celui de la relativité générale par exemple, les cases du Lambdoma sont remplies de formules beaucoup plus complexes. En physique, ce type de Lambdoma est appelé « métrique » de l’espace-temps et définit sa géométrie. En mathématiques, la métrique est un objet algébrique complexe appelé « tenseur métrique », mais nous n’en parlerons pas ici. Disons simplement que tout espace mathématique et physique est décrit géométriquement par son tenseur métrique, qui sert finalement à calculer les distances entre deux points de cet espace. Dans l’espace plat euclidien, tel que celui décrit par le Lambdoma ci-dessus, la distance entre deux points est un segment de droite et se calcule de manière cartésienne à l’aide du théorème de Pythagore.
Prenons maintenant une fonction mathématique quelconque, quelle que soit sa forme ou sa complexité, et pensons que cette fonction, que nous appellerons généralement f, décrit une entité immergée dans l’espace ordinaire que nous avons imaginé précédemment. Faisons maintenant un bond de trois siècles en arrière. Nous sommes en 1782 et le mathématicien français Pierre-Simon Laplace étudie comment, dans certaines conditions, des fonctions telles que f que nous avons vu précédemment varient dans l’espace manifeste ordinaire, et surtout il s’intéresse à comprendre à quelle vitesse f varie par rapport aux coordonnées cartésiennes. Ces études sur le comportement de f l’ont amené à formuler une relation mathématique, une équation de ce type L²f = 0. Sans entrer dans les détails, le symbole L² englobe une série d’opérations mathématiques qui « mesurent » la vitesse à laquelle la fonction f varie par rapport aux coordonnées cartésiennes et à l’espace. Ce symbole, en l’honneur de Laplace, est appelé « Opérateur Laplacien [2] ».
Ce qui nous intéresse ici, c’est que, en généralisant et en faisant abstraction de l’environnement physique, toutes les fonctions mathématiques f qui s’annulent lorsque l’opérateur de Laplace L² leur est appliqué sont appelées « Fonctions Harmoniques ». Ces fonctions ont un comportement répétitif lorsque les coordonnées varient ; en fait, l’équation de Laplace L²f = 0 est également appelée équation d’onde. Il est important de préciser ici que l’annulation de l’Opérateur Laplacien appliqué à f signifie que f est une solution des opérations contenues dans L². L’une des solutions de l’expression L²f = 0 est f = sin (sinus) ou f = cos (cosinus). Les fonctions sinus ou cosinus décrivent précisément une évolution sinusoïdale des quantités sur lesquelles elles opèrent, comme on peut le voir par exemple dans la figure ci-dessus. Par conséquent, l’Opérateur Laplacien identifie les fonctions f qui ont une évolution harmonique, quelle que soit la grandeur sur laquelle f agit.
Voilà. Nous sommes arrivés à la définition mathématique et abstraite de l’Harmonique. L’Harmonique est ici une idée, quelque chose qui n’est pas physiquement tangible, un modèle à partir duquel des formes peuvent entrer en manifestation comme, par exemple, les lois de l’Harmonique qui définissent le son ; mais pour comprendre quelle est la relation avec l’essence du Nombre, nous avons besoin d’un peu plus de patience et d’un peu plus d’attention car le niveau de difficulté s’élève maintenant un peu.
Lorsque l’on parle de « symétrie », tout le monde a plus ou moins une idée de ce dont il s’agit. Par exemple, quelque chose de spéculaire est symétrique. C’est vrai, mais en mathématiques, le concept de symétrie est plus vaste et plus abstrait. Pour voir comment fonctionne la symétrie en mathématiques, prenons une table carrée vue du dessus. Si nous la faisons pivoter, disons de 45 degrés, nous remarquons que la table n’est plus dans la même position qu’auparavant. C’est bien sûr évident. Toutefois, si, à partir de la position de départ, nous faisons pivoter la table de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (ou dans le sens des aiguilles d’une montre, cela ne change pas), elle a exactement la même apparence que la position de départ, à l’exception du coin inférieur droit qui se trouve maintenant en haut à droite, mais la table a exactement la même apparence que dans la position de départ. Combien de rotations pouvons-nous effectuer sans modifier la position de la table à l’œil nu ? Quatre.
Il n’y a que quatre rotations possibles : 90 degrés, 180 degrés, 270 degrés et 360 degrés (la rotation de 360 degrés de la table, comme on peut le deviner, est identique à une rotation de 0 degré et est appelée « identité » en termes mathématiques). La table carrée présente une « symétrie de rotation discrète » et nous disons en mathématiques que l’ensemble des symétries de la table contient quatre éléments : les rotations spécifiées ci-dessus. Or, si l’on prend une des rotations présentes dans l’ensemble des quatre éléments de la table et qu’on la fait suivre d’une autre rotation toujours présente dans cet ensemble, on obtiendra toujours un élément de l’ensemble des quatre symétries de la table : par exemple, si j’effectue une rotation de 90 degrés puis de 180 degrés, j’obtiendrai le même résultat que si j’avais effectué une rotation de 270 degrés depuis le début. Autre exemple. Si je fais pivoter la table de 180 degrés puis de 270 degrés, j’obtiens une rotation de 450 degrés, ce qui correspond à une rotation de 90 degrés (450 – 360). Effectuer une rotation à la suite d’une autre s’appelle en mathématiques « composer » des rotations.
Outre la rotation de la table dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, nous pouvons décider de composer deux rotations, l’une dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et l’autre dans le sens des aiguilles d’une montre. Par exemple, je peux décider de faire tourner la table de 270 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, puis de 90 degrés dans le sens des aiguilles, ce qui donne une rotation finale de 180 degrés. Si en composant deux rotations, l’une dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et l’autre dans le sens des aiguilles, j’obtiens une symétrie « d’identité », c’est-à-dire que je reviens à la position de départ comme si je n’avais appliqué aucune rotation, je définis alors ce que l’on appelle la symétrie « inverse ». Donnons maintenant une définition importante : un ensemble dont les éléments sont des symétries et qui possède les trois « structures algébriques » comme celles définies pour le tableau, c’est-à-dire la structure d’existence de la symétrie « identité », la structure de « composition » des symétries et la structure de la symétrie “inverse”, alors ce que j’ai entre les mains est ce qu’on appelle en mathématiques un « Groupe ». On ne dit pas qu’un groupe a un nombre fini d’éléments de symétrie. Pensez par exemple au groupe des rotations d’une table ronde : dans ce cas, n’importe lequel des angles infinis entre 0 et 360 degrés est un élément de l’ensemble des symétries de la table ronde [3].
Maintenant que nous savons maîtriser la définition d’un Groupe, considérons celui dans lequel les éléments de l’ensemble des symétries sont tous les points d’un espace continu (lisse et sans trous ni discontinuités) ayant des caractéristiques particulières, c’est-à-dire un espace où, par exemple, il est possible d’appliquer l’Opérateur Laplacien L²vu plus haut [4]. Un groupe dont les éléments de l’ensemble de symétrie sont ces points est appelé groupe de Lie, d’après le mathématicien norvégien Sophus Lie qui l’a introduit vers 1870. Outre le groupe de Lie, nous nous intéressons également à un autre groupe : le groupe de Galois, du nom du mathématicien français Évariste Galois, qui a été le premier à étudier les symétries dans le domaine des nombres. Venons en à la définition du groupe de Galois par étapes. Prenons l’ensemble des entiers naturels, c’est-à-dire les nombres que nous utilisons tous les jours pour compter. Comme nous le savons depuis l’école primaire, nous pouvons effectuer les quatre opérations sur cet ensemble : Addition, soustraction, multiplication et division. L’ensemble des nombres naturels est « fermé » en ce qui concerne seulement deux de ces opérations : l’addition et la multiplication. En fait, l’addition de deux ou plusieurs nombres naturels donne toujours un nombre naturel, tout comme la multiplication de deux ou plusieurs nombres naturels donne toujours un nombre naturel. Que se passe-t-il maintenant si nous soustrayons un nombre naturel plus grand d’un plus petit ?
Ce qui se passe, c’est que nous quittons l’ensemble des nombres naturels parce que nous obtenons un nombre négatif qui n’est pas un nombre naturel. En ajoutant les nombres négatifs comme « extension » à l’ensemble des nombres naturels, nous obtenons l’ensemble des nombres entiers [5].
Lorsque l’on ajoute à un ensemble numérique (comme les nombres Naturels) une extension (comme les nombres négatifs), on obtient ce que l’on appelle un « champ numérique ».
Or, un groupe de Galois est un Groupe dont l’ensemble des symétries est formé par les éléments représentant l’extension qui forme un champ Numérique. Pour cet article, les Groupes de Lie et les Groupes de Galois nous intéressent parce qu’ils sont étudiés par une branche des mathématiques appelée Théorie des Représentations, qui étudie des structures algébriques particulières, telles que les Groupes. En particulier, la Théorie des Représentations étudie comment les groupes en général (et les Groupes de Lie et de Galois en particulier) peuvent être « représentés » au moyen de transformations linéaires (c’est-à-dire une transformation qui prend un objet et le transforme en un autre objet, en conservant la structure algébrique interne intacte) sur des espaces vectoriels [6].
Les Représentations nous permettent de construire des objets abstraits qui nous aident à étudier comment un Groupe (ou plus abstraitement, une Algèbre) agit et transforme un espace vectoriel. Il ne faut pas oublier ici un profond changement de vision. Alors que les Groupes représentent des entités mathématiques « statiques », avec leurs éléments et leurs relations algébriques d’identité, de composition et de symétrie inverse, les Représentations se concentrent sur les aspects dynamiques, de transformation, exactement comme c’était le cas avec l’Opérateur Laplacien qui “représentait” un mouvement de variation d’une Fonction par rapport à son « extension » cartésienne et servait à définir une Fonction Harmonique.
Pour les transformations géométriques des champs de vecteurs, la Théorie des Représentations utilise le Groupe de Lie des symétries sur l’espace vectoriel par lequel les Fonctions Harmoniques sont également caractérisées, tandis que pour les transformations numériques sur les champs numériques, la Théorie des Représentations utilise le groupe de Galois agissant sur le champ numérique examiné. Sans entrer dans les détails, l’étude des Représentations du Groupe de Lie et l’étude des Représentations du Groupe de Galois font apparaître des entités essentielles communes appelées Formes Automorphes. Ces entités abstraites intègrent certaines des idées essentielles qui sous-tendent à la fois la Géométrie Algébrique (une branche des mathématiques qui définit également les fonctions harmoniques) et la Théorie des Nombres.
Ces entités abstraites sont constituées de pures relations. Ce qui importe ici, ce n’est pas le type d’objet auquel elles s’appliquent, mais les relations qui se tissent entre ces objets. Qu’il s’agisse de l’espace, avec son Lambdoma métrique, des Nombres ou des Harmoniques, chacun de ces domaines d’application possède une Représentation Automorphe commune résidant à un niveau d’abstraction supérieur, d’où descendent des manifestations spécifiques. Ces entités abstraites sont construites et décrites dans la Théorie de Teichmüller inter universelle de Mochizuki mentionnée au début et ont un nom, elles sont appelées Frobénoïdes. À ce jour, l’IUT est toujours étudiée par les plus grands esprits mathématiques du monde. Certaines choses ont été comprises, d’autres restent encore un mystère. Découvrirons nous un jour ce que Mochizuki voulait dire lorsqu’il affirmait que certaines choses devaient rester voilées pour notre bien à tous ? Le fait est qu’aujourd’hui encore, plus qu’hier, Shinichi Mochizuki refuse de faire le moindre commentaire sur cette œuvre qui l’a conduit presque à la folie. Même ses articles ont été retirés de son site personnel, Mochizuki en interdisant la publication en version originale et sous toute autre forme [7].
Heureusement, les originaux existent toujours dans les académies et font toujours l’objet d’une étude approfondie et d’une recherche de pointe de la part de la communauté mathématique. Une autre branche des mathématiques, la Logique Catégorielle, montrerait que ces représentations Automorphes peuvent également être appliquées à la démonstration de l’incomplétude syntaxique de Gödel, ce qui aiderait le travail d’abstraction sur la dichotomie entre sémantique et syntaxe, Vérité et Démonstration, déjà formalisée par Gödel dans son ouvrage de 1930, unifiant ainsi la Géométrie algébrique, la Théorie des Nombres et la Logique Mathématique sous une théorie commune.
Comme il est facile de le deviner, ce qui est enseigné dans les écoles n’a rien à voir avec les vraies mathématiques, celles auxquelles les universitaires consacrent leur vie dans l’étude et la recherche. C’est comme si, dans les écoles d’art, on n’appelait Art que la technique qui consiste à peindre un mur, sans mentionner Léonard ou Michel-Ange et d’autres grands artistes qui ont donné de la dignité à leur discipline. Il en va de même pour les mathématiques. Les nombres ne sont pas seulement des outils quantitatifs pour compter, comme on nous l’enseigne à l’école. Sur cette fausse idée, beaucoup, croyant que les mathématiques sont tout (dans leur stérilité didactique), et sans prendre la peine d’aller plus loin, dans leur étroitesse, critiquent les académies sans connaître l’énorme travail d’étude et de recherche que les mathématiques modernes exigent.
Par rapport aux études ésotériques sur l’Harmonique, ce qui est présenté ici l’aborde avec une perspective sapientielle différente, l’état de l’art de la recherche scientifique-mathématique moderne qui, avec des outils et des temps différents, arrivera à dire les mêmes choses que les anciens savaient déjà. L’abstraction mathématique nous fait pénétrer dans des mondes d’une beauté si essentielle que c’est comme si l’on s’était échappé de la caverne de Platon et que l’on s’était retrouvé face à face avec la Vérité pure. Le sens des mathématiques est le même que celui de l’art : la création d’une beauté intrinsèque. C’est la beauté, et non l’utilité, qui est la véritable justification des mathématiques. Les formes créées par le mathématicien, comme celles créées par le peintre ou le poète, doivent exprimer la beauté. Nous n’avons donc pas besoin de créer de nouvelles arithmétiques ou géométries avec des noms pompeux ou des théories farfelues sur les nombres. Tout ce dont nous avons besoin est déjà là. Et beaucoup d’autres choses nous attendent, encore voilées. Toute une mer à parcourir et à découvrir.
Une grande aventure.
[1] Pour être clair sur les termes qui doivent nécessairement être précis dans cette discipline, ici, et dans les articles de ce type, le terme « science » ne doit être compris que dans le sens reconnu par le dictionnaire Treccani, qui précise que : « La science est l’ensemble des disciplines fondées essentiellement sur l’observation, l’expérience, le calcul, ou qui ont pour objet la nature et les êtres vivants, et qui utilisent des langages formalisés ».
[2] Voici le lien pour plus d’informations sur cet opérateur :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Opérateur_laplacien
[3] En fait, ce groupe s’appelle le groupe de la circonférence.
[4] Il n’est pas du tout acquis que tous les espaces aient cette caractéristique. Techniquement, l’espace doit être continu et infiniment différentiable en tout point. Un tel espace est appelé variété différentielle. Par exemple, une ligne droite présentant des discontinuités ou des cuspides (une cuspide est un point où une courbe change brusquement de direction, comme le pic aigu d’une montagne par rapport à la rondeur douce d’une colline) n’est pas différentiable en discontinuités et en cuspides et n’est donc pas une variété différentielle.
[5] Pour l’opération de division, la même chose se produit, ce qui permet d’obtenir une extension des nombres Naturels que nous appelons les Nombres Rationnels
[6] Nous rappelons ici la différence entre espace scalaire et espace vectoriel. Un espace scalaire est, par exemple, celui des températures : à chaque point de l’espace est associé un nombre représentant une température. Un espace vectoriel est par exemple celui des vents : à chaque point de l’espace, en plus d’un nombre associé à l’intensité du vent, est associée une direction
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html
[7] Cependant, les quatre articles de l’IUT dans la version révisée de 2020 peuvent être trouvés sur ce site :
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html
